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DISEÑO DE LOSAS/VIGAS CON USO DE ENVOLVENTE DE
CARGA VIVA
1. MÉTODO MATRICIAL DE RIGIDEZ
Es entendible que no te guste el título pero en pleno 2024 no hay ninguna justificación para no usarlo,
voy a explicar la forma más corta para obtener las fuerzas internas que necesitamos: el cortante y el
momento.
VIGA DEL EJEMPLO
Figura # 1- Viga para el cálculo matricial
1.1. MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL
La simbología convencional se mantendrá pero los nombres de las matrices serán cambiados para
hacerla más fácil de programar, en el gráfico se muestran los desplazamientos, giros, cortantes y
momentos en una viga sometida a flexión.
[
][
]
=
[
]
[k]: Matriz de rigidez, 4x4
[u]: Matriz con los desplazamientos, 4xNE
[p]: Matriz de fuerzas en los nudos, 4xNE
Figura # 2-
Esquema con la definición del sistema de coordenadas locales
Las vigas no requieren transformación de coordenadas, se muestra la matriz para nudos rígidos:
=
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[
k
]
=
k
k
… … …
k
k
= [KL]
L
L
L
L
L
L
… … …
L
L
L
L
L
L
La matriz de rigidez en coordenadas locales siempre se necesita, por tanto, la nombraremos [KL].
=
·
[
]
1
9806.65
1000
1
[·]
= .
·
[]
EJEMPLO-1: Calcular las matrices de rigidez locales para los 3 tramos concreto 3000PSI, 30x35:
Módulo de elasticidad
E
21538
MPa
Ancho
b
0.30
m
Alto
h
0.35
m
Inercia
I=b·h³/12
0.00107188
m⁴
Longitud
L
4.00
m
Rho
ρ=101.972EI/L
588.535
ton·m
[KL] (1)
¡
1
2
3
4
1
441.40155
882.80311
-441.4016
882.80311
2
882.80311
2354.1416
-882.8031
1177.0708
3
-441.4016
-882.8031
441.40155
-882.8031
4
882.80311
1177.0708
-882.8031
2354.1416
[KL] (2)= [KL] (1)
Módulo de elasticidad
E
21538
MPa
Ancho
b
0.30
m
Alto
h
0.35
m
Inercia
I=b·h³/12
0.00107188
m⁴
Longitud
L
4.35
m
Rho
ρ=101.972EI/L
541.182
ton·m
[KL] (3)
0
1
2
3
4
1
343.19904
746.4579
-343.199
746.4579
2
746.4579
2164.7279
-746.4579
1082.364
3
-343.199
-746.4579
343.19904
-746.4579
4
746.4579
1082.364
-746.4579
2164.7279
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1.2. MATRIZ DE FUERZAS NODALES
Las cargas serán todas distribuidas, el caso de fuerza distribuida se demuestra aquí, las fuerzas para
una carga uniforme son:
[
p
]
=
V
M
V
M
=
[
PL
]
=
wL
2
wL
12
wL
2
wL
12
El vector tiene dimensiones 4xNE, NE el número de estados de carga. Lo renombraremos [PL]
EJEMPLO-2: La carga es de 500 kgf/m² (total) y el ancho aferente es de 2m, w=1.0ton/m.
Carga
w
1.00
ton/m
Longitud
L
4.00
m
[PL] (1)
0
1
1
2
2
1.33333333
3
2
4
-1.3333333
[PL] (2)=[PL] (1)
Carga
w
1.00
ton/m
Longitud
L
4.35
m
[PL] (3)
0
1
1
2.175
2
1.576875
3
2.175
4
-1.576875
1.3. MATRICES AMPLIADAS Y MATRIZ ENSAMBLADA
La forma más rápida, y que no requiere de pensar tanto, es ampliar las matrices y ubicar los valores
de las filas i y j para cada elemento definido del nudo i al j, rellenando con ceros las casillas
correspondientes a los nudos que no intervienen.
[
KA
]
=
K
K
K
K
La matriz KA es cuadrada y de dimensiones 2NN, se debe ampliar el vector de fuerzas de
empotramiento el cual queda de 2NNxNE, con NE el número de estados de carga.
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[
PA
]
=
P
P
Una vez están en la posición correspondiente, la matriz ensamblada, es la suma de todas las NB
matrices.
[
KE
]
=
[
KA
]
[
PA
]
=
[
PA
]
EJEMPLO-3: Obtenga las matrices ampliadas [KA] y [PA] para cada una de las barras.
[KA] (1)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
441.402
882.803
-441.402
882.803
2
882.803
2354.142
-882.803
1177.071
3
-441.402
-882.803
441.402
-882.803
4
882.803
1177.071
-882.803
2354.142
5
6
7
8
[KA] (2)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
441.402
882.803
-441.402
882.803
4
882.803
2354.142
-882.803
1177.071
5
-441.402
-882.803
441.402
-882.803
6
882.803
1177.071
-882.803
2354.142
7
8
[KA] (3)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
343.199
746.458
-343.199
746.458
6
746.458
2164.728
-746.458
1082.364
7
-343.199
-746.458
343.199
-746.458
8
746.458
1082.364
-746.458
2164.728
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[KAE]=SUMA {[KA]i}, i=1->NB
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
441.402
882.803
-441.402
882.803
0.000
0.000
0.000
0.000
2
882.803
2354.142
-882.803
1177.071
0.000
0.000
0.000
0.000
3
-441.402
-882.803
882.803
0.000
-441.402
882.803
0.000
0.000
4
882.803
1177.071
0.000
4708.283
-882.803
1177.071
0.000
0.000
5
0.000
0.000
-441.402
-882.803
784.601
-136.345
-343.199
746.458
6
0.000
0.000
882.803
1177.071
-136.345
4518.870
-746.458
1082.364
7
0.000
0.000
0.000
0.000
-343.199
-746.458
343.199
-746.458
8
0.000
0.000
0.000
0.000
746.458
1082.364
-746.458
2164.728
[PA] (1)
0
1
1
2
2
1.3333333
3
2
4
-1.333333
5
6
7
8
[PA] (2)
0
1
1
2
3
2
4
1.3333333
5
2
6
-1.333333
7
8
[PA] (3)
0
1
1
2
3
4
5
2.175
6
1.576875
7
2.175
8
-1.576875
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[PAE]=SUMA {[PA]i}, i=1->NB
0
1
1
2
2
1.3333333
3
4
4
0
5
4.175
6
0.2435417
7
2.175
8
-1.576875
1.4. MATRIZ ENSAMBLADA RESTRINGIDA
Se debe eliminar de la matriz completa [KAE] los desplazamientos conocidos, si se asume de forma
automática que son apoyos el valor yi=0 ocurre en las filas impares. Se debe restringir el vector de
fuerzas de empotramiento también.
[
]
=
[
]
=
Se eliminan filas y columnas correspondientes a yi=0 que son conocidos.
[
]
=
NOTA: En caso de empotramiento θi=0, en caso de voladizo no se elimina ninguna fila correspondiente
al nudo.
EJEMPLO-4: Obtenga las matrices reducidas [KE] y [PE].
[KE]
0
1
2
3
4
1
2354.142
1177.071
0.000
0.000
2
1177.071
4708.283
1177.071
0.000
3
0.000
1177.071
4518.870
1082.364
4
0.000
0.000
1082.364
2164.728
[PE]
0
1
1
1.3333333
2
0
3
0.2435417
4
-1.576875
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1.5. SOLUCIÓN AL SISTEMA
Una vez ensamblada la matriz y restringida, se puede resolver el sistema para los desplazamientos:
[
]
=
[
]
· []
[
]
=
[
]
[
]
Invertir la matriz es algo que muchos lenguajes de programación, incluso el mismo Excel, pueden
hacer por sí mismos. Es muy sencillo obtener los resultados.
EJEMPLO-5: Calcule la matriz inversa de rigidez ensamblada y los desplazamientos ensamblados.
[KE]
-1
0
1
2
3
4
1
0.0004911
-0.000133
3.923E-05
-1.96E-05
2
-0.000133
0.0002652
-7.85E-05
3.923E-05
3
3.923E-05
-7.85E-05
0.0002746
-0.000137
4
-1.96E-05
3.923E-05
-0.000137
0.0005306
[UE]= [KE]
-1
[PE]
0
1
1
0.0006952
2
-0.000258
3
0.0003357
4
-0.000896
1.6. FUERZAS INTERNAS
Los resultados obtenidos en [UE] corresponden a los giros en cada nudo, se procede a crear las
matrices de desplazamientos de 4 filas [UL].
[
]
= []
[
]
[
UL
]
=
[
u
]
=
y
y
NOTA: Se reemplaza los valores conocidos yi=0, en el caso de un empotramiento también se
reemplazaría su giro θi=0.
El vector de fuerzas resultantes [FL] es el equivalente a la sumatoria de momentos en el método
manual de Cross, y como se sumó el estado de empotramiento ahora se requiere restarlo:
[
]
=
[
]
[
]
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EJEMPLO-6: Calcule los desplazamientos locales, y fuerzas internas en las barras.
[UL] (1)
0
1
1
0
2
0.0006952
3
0
4
-0.000258
[UL] (2)
0
1
1
0
2
-0.000258
3
0
4
0.0003357
[UL] (3)
0
1
1
0
2
0.0003357
3
0
4
-0.000896
[FL] (1)= [KL] (1) · [UL] (1)
0
1
1
0.3862332
2
1.3333333
3
-0.386233
4
0.2115995
[FL] (2)= [KL] (2) · [UL] (2)
0
1
1
0.068834
2
-0.211599
3
-0.068834
4
0.4869354
[FL] (3)= [KL] (3) · [UL] (3)
0
1
1
-0.418453
2
-0.243394
3
0.4184526
4
-1.576875
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Las fuerzas internas, es decir Vij, Mij, Vji, Mji, en cada barra son:
[FI] (1)= [FL] (1)- [PL] (1)
0
1
1
-1.614
V12
2
0.000
M12
3
-2.386
V21
4
1.545
M22
[FI] (2)= [FL] (2)- [PL] (2)
0
1
1
-1.931
V23
2
-1.545
M23
3
-2.069
V32
4
1.820
M33
[FI] (3)= [FL] (3)- [PL] (3)
0
1
1
-2.593
V34
2
-1.820
M34
3
-1.757
V43
4
0.000
M43
1.7. COMPROBACIÓN DE RESULTADOS EN ETABS
Se crea una viga y se restringen todos sus nudos, la carga tiene un valor de w=1.00ton/m.
DIAGRAMA DE CORTANTES:
DIAGRAMA DE MOMENTOS:
Figura # 3- Diagrama de cortante y momento en ETABS para la viga del ejemplo
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1.8. REACCIONES
Fuerzas externas igual a fuerzas internas, teniendo en cuenta que se sumó el estado de
empotramiento se debe restar:
[
]
=
[
][
]
=
[
]
[]
[
]
=
[
]
[]
Se deben usar las matrices completas, por tanto, con la notación que usamos resulta:
[
]
=
[
][
]
[
]
=
[
]
[
]
La matriz [UAE] tiene 2NN filas, y NE columnas, siendo NE el número de estados de carga. Usando
nuestra matriz [UE] y llenando con ceros los valores de desplazamientos conocidos se obtiene [UAE]
EJEMPLO-7: Obtenga [UAE] y calcule las reacciones.
[UAE]
0
1
1
0
2
0.0006952
3
0
4
-0.000258
5
0
6
0.0003357
7
0
8
-0.000896
[F]=[KAE][UAE]
0
1
1
0.386233
2
1.333333
3
-0.317399
4
-3.89E-16
5
-0.487287
6
0.243542
7
0.418453
8
-1.576875
[R]=[PAE]-[F]
0
1
1
1.6137668
R1y
2
0
M1
3
4.3173992
R2y
4
0
M2
5
4.6622865
R3y
6
0
M3
7
1.7565474
R4y
8
0
M4
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NOTA: En el caso de empotramiento aparecería un valor de reacción a momento no nulo. En el caso
de un voladizo o nudo libre, ambos valores son 0.
Se muestra la comprobación en ETABS (ton).
Figura # 4-
Reacciones para el estado de cargas 1 DEAD
2. OBTENCIÓN DE LA ENVOLVENTE
En el caso de cortantes, momentos y deformadas, es necesario calcular las máximas y mínimas de
los estados de carga. El estado de carga viva requiere alternar cargas en los tramos.
2.1. LÍNEA DE INFLUENCIA PARA MOMENTO POSITIVO
¿De dónde sale lo de alternar los tramos cargados? De la línea de influencia, para momento.
A modo de ejemplo calcularé la línea de influencia para momento en el punto medio del tramo 2, de
una viga de 6 tramos iguales de 4.0m.
Figura # 5-
Esquema de una viga de 6 tramos iguales de L=4.0m
Para ello se carga una fuerza puntual de 1ton, cada 1m, se evalúa el momento en C, Mc y se lo ubica
en la posición de la fuerza puntual.
Se muestra la obtención del primer punto ubicado en X=1.0m, Mc=0.09 ton·m
Figura # 6-
Modelo en ETABS de viga para determinar un punto de la línea de influencia
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El proceso se repite en cada punto para formar el diagrama:
Figura # 7- Línea de Influencia para Momento L.I.M. calculada con ETABS
Figura # 8- Acercamiento (Zoom) en la escala de ordenadas de la L.I.Momento en C
Aunque es difícil de ver, la línea de influencia cambia de signo en cada tramo, se puede notar que los
dos tramos positivos más grandes son el 1 y el 3, además el más negativo es el tramo donde
justamente se evalúa el máximo y por tanto debe estar descargado.
CONCLUSIÓN-1: Cargar tramos pares para un estado y tramos impares para obtener los momentos
máximos.
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0 4 8 12 16 20 24
L.I. Momento en C
Abcsisa X(m)
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0 4 8 12 16 20 24
L.I. Momento en C
Abcsisa X(m)
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2.2. LÍNEA DE INFLUENCIA PARA MOMENTO NEGATIVO
El momento mínimo (o máximo negativo) se encuentra siempre en los apoyos, para ilustrar la línea de
influencia se hará en el apoyo 3. Del mismo modo se carga una fuerza puntual y se evalúa el momento
en el nudo (3).
Figura # 9-
LI Momento en el apoyo 3 del ejemplo
Es evidente que los tramos a lado y lado del apoyo son los más negativos, y que más aportan, luego
saltando un tramo.
CONCLUSION-2: Para obtener los momentos mínimos en un apoyo se debe cargar dos tramos uno a
cada lado del nudo y a partir de ahí alternar un tramo descargado.
-0.4
-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0 4 8 12 16 20 24
L.I. Momento Apoyo (3)
Abcsisa X(m)
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2.3. CASOS DE CARGA
En una viga de NN nudos se tienen NN-2 casos para momento negativo y 2 casos para momentos
positivos, cargando impares y otro cargando pares.
Los estados de carga para la viga de 6 tramos son los siguientes:
Figura # 10-
Esquema de cargas para obtener la envolvente en la viga de 6 tramos iguales a L=4.0m
Si se listan los tramos y estados de carga, con 0 en los tramos descargados y 1 para tramos cargados
se obtiene una matriz de carga.
EJEMPLO-8: Elaborar la matriz de carga para el caso de la viga para cálculo matricial de los anteriores
ejemplos y resolverlos.
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TRAMO
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1
1
0
1
0
2
1
1
0
1
3
0
1
1
0
Ahora es necesario calcular el vector de fuerzas para los 4 estados de carga, la matriz de carga indica
en donde se calcularán fuerzas de empotramiento.
La carga viva es de wL=2.00ton/m.
Carga
w
2.00
ton/m
Longitud
L
4.00
m
[PL] (1)
0
1
2
3
4
1
4
4
2
2.6666667
2.6666667
3
4
4
4
-2.666667
-2.666667
Carga
w
2.00
ton/m
Longitud
L
4.00
m
[PL] (2)
0
1
2
3
4
1
4
4
4
2
2.6666667
2.6666667
2.6666667
3
4
4
4
4
-2.666667
-2.666667
-2.666667
Carga
w
2.00
ton/m
Longitud
L
4.35
m
[PL] (3)
0
1
2
3
4
1
4.35
4.35
2
3.15375
3.15375
3
4.35
4.35
4
-3.15375
-3.15375
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Se amplían las matrices y se ensamblan:
[PA] (1)
0
1
2
3
4
1
4
0
4
0
2
2.666667
0
2.666667
0
3
4
0
4
0
4
-2.66667
0
-2.66667
0
5
6
7
8
[PA] (2)
0
1
2
3
4
1
2
3
4
4
0
4
4
2.666667
2.666667
0
2.666667
5
4
4
0
4
6
-2.66667
-2.66667
0
-2.66667
7
8
[PA] (3)
0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
0
4.35
4.35
0
6
0
3.15375
3.15375
0
7
0
4.35
4.35
0
8
0
-3.15375
-3.15375
0
[PAE]=SUMA {[PA] (i)}, i=1->NB
0
1
2
3
4
1
4
0
4
0
2
2.666667
0
2.666667
0
3
8
4
4
4
4
0
2.666667
-2.66667
2.666667
5
4
8.35
4.35
4
6
-2.66667
0.487083
3.15375
-2.66667
7
0
4.35
4.35
0
8
0
-3.15375
-3.15375
0
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Eliminando filas impares.
[PE]
0
1
2
3
4
1
2.666667
0
2.666667
0
2
0
2.666667
-2.66667
2.666667
3
-2.66667
0.487083
3.15375
-2.66667
4
0
-3.15375
-3.15375
0
La mayor ventaja del método matricial es que sólo se requiere obtener la matriz inversa una vez:
[UE]= [KE]
-1
[PE]
0
1
2
3
4
1
0.001205
-0.00027
0.001849
-0.00046
2
-0.00014
0.000545
-0.00143
0.000916
3
-0.00063
0.000358
0.001613
-0.00094
4
0.000314
-0.00164
-0.00226
0.000471
Desplazamientos locales, y fuerzas internas en las barras.
[UL] (1)
0
1
2
3
4
1
0
0
0
0
2
0.0012049
-0.000273
0.0018486
-0.000458
3
0
0
0
0
4
-0.000144
0.0005451
-0.001432
0.0009163
[UL] (2)
0
1
2
3
4
1
0
0
0
0
2
-0.000144
0.0005451
-0.001432
0.0009163
3
0
0
0
0
4
-0.000628
0.0003576
0.001613
-0.000942
[UL] (3)
0
1
2
3
4
1
0
0
0
0
2
-0.000628
0.0003576
0.001613
-0.000942
3
0
0
0
0
4
0.0003139
-0.001636
-0.002263
0.0004708
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[FL] (1)= [KL] (1) · [UL] (1)
0
1
2
3
4
1
0.9363057
0.2406193
0.3680078
0.4044586
2
2.6666667
0
2.6666667
0
3
-0.936306
-0.240619
-0.368008
-0.404459
4
1.0785563
0.9624771
-1.194635
1.6178344
[FL] (2)= [KL] (2) · [UL] (3)
0
1
2
3
4
1
-0.681529
0.7969036
0.1599609
-0.022293
2
-1.078556
1.7041896
-1.472031
1.0488323
3
0.6815287
-0.796904
-0.159961
0.022293
4
-1.647558
1.4834249
2.111875
-1.138004
[FL] (3)= [KL] (3) · [UL] (3)
0
1
2
3
4
1
-0.234278
-0.954044
-0.485489
-0.351417
2
-1.019108
-0.996342
1.041875
-1.528662
3
0.2342778
0.954044
0.4854885
0.3514166
4
0
-3.15375
-3.15375
0
Las fuerzas internas, es decir Vi, Mi, Vj, Mj, en cada barra son:
[FI] (1)= [FL] (1)- [PL] (1)
0
1
2
3
4
1
-3.06
0.24
-3.63
0.40
2
0.00
0.00
0.00
0.00
3
-4.94
-0.24
-4.37
-0.40
4
3.75
0.96
1.47
1.62
[FI] (2)= [FL] (2)- [PL] (2)
0
1
2
3
4
1
-4.68
-3.20
0.16
-4.02
2
-3.75
-0.96
-1.47
-1.62
3
-3.32
-4.80
-0.16
-3.98
4
1.02
4.15
2.11
1.53
[FI] (3)= [FL] (3)- [PL] (3)
0
1
2
3
4
1
-0.23
-5.30
-4.84
-0.35
2
-1.02
-4.15
-2.11
-1.53
3
0.23
-3.40
-3.86
0.35
4
0.00
0.00
0.00
0.00
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Los valores son todos correctos.
NOTA: Desde luego que se podía haber realizado desde el inicio, con una columna correspondiente
al caso DEAD y así se hará en el software.
2.4. ECUACIONES DE LOS DIAGRAMAS
Cada estado produce una ecuación para cortante, momento y deformada, se deben graficar todas las
NN+1 diagramas de cortante, momento y deformada, y la envolvente serán dos curvas: una para
máximos y otra para mínimos.
Ecuación de cortante
(
)
=
(
)
=
·
Ecuación de momento
(
)
=
+
(
)
=
+
·
2
Ecuación de deformada
(
)
=
+
1
(
)
=
+
+
2
6
(
)
=
+
() =
+
· +
2
+
6
24
Los valores en el nudo i son los resultados del método matricial y por tanto todos conocidos. Si un
tramo está descargado basta con reemplazar w=0.
NOTA: El caso del cortante siempre hemos trabajado el diagrama bajando por tanto el valor Vi=-Vij,
así como también θi=- θij sentido horario positivo para coincidir con la flexión.
EJEMPLO-9: Recopile datos de Vi, Mi, θi para los tres tramos de la viga del ejemplo. Tabule los
valores de cortante, momento y deformada.
DEAD
TRAMO
Vi(ton)
Mi(ton·m)
0i(rad)
1
1.61
0.00
-0.000695
2
1.93
-1.54
0.000258
3
2.59
-1.82
-0.000336
LIVE 1
TRAMO
Vi(ton)
Mi(ton·m)
0i(rad)
1
3.06
0.00
-0.001205
2
4.68
-3.75
0.000144
3
0.23
-1.02
0.000628
LIVE 2
TRAMO
Vi(ton)
Mi(ton·m)
0i(rad)
1
-0.24
0.00
0.000273
2
3.20
-0.96
-0.000545
3
5.30
-4.15
-0.000358
LIVE 3
TRAMO
Vi(ton)
Mi(ton·m)
0i(rad)
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1
3.63
0.00
-0.001849
2
-0.16
-1.47
0.001432
3
4.84
-2.11
-0.001613
LIVE 4
TRAMO
Vi(ton)
Mi(ton·m)
0i(rad)
1
-0.40
0.00
0.000458
2
4.02
-1.62
-0.000916
3
0.35
-1.53
0.000942
El propósito es complicarse lo menos posible, por tanto, usaremos 5 puntos, es decir 4 tramos de
25% de longitud. Se debe tener en cuenta los casos para los cuales wL=0.
2.4.1. DIAGRAMAS DE CORTANTE
Los diagramas de cortante conforman el ejemplo perfecto para entender la envolvente, el mínimo y el
máximo de los casos L1 a L4 tienen que tener en cuenta un valor de 0, de modo que Max siempre es
positivo y Min siempre es negativo.
i
X(m)
x(m)
DEAD
LIVE 1
LIVE 2
LIVE 3
LIVE 4
MIN
MAX
0
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1
0.00
0.00
1.61
3.06
-0.24
3.63
-0.40
-0.40
3.63
2
1.00
1.00
0.61
1.06
-0.24
1.63
-0.40
-0.40
1.63
3
2.00
2.00
-0.39
-0.94
-0.24
-0.37
-0.40
-0.94
0.00
4
3.00
3.00
-1.39
-2.94
-0.24
-2.37
-0.40
-2.94
0.00
5
4.00
4.00
-2.39
-4.94
-0.24
-4.37
-0.40
-4.94
0.00
6
4.00
0.00
1.93
4.68
3.20
-0.16
4.02
-0.16
4.68
7
5.00
1.00
0.93
2.68
1.20
-0.16
2.02
-0.16
2.68
8
6.00
2.00
-0.07
0.68
-0.80
-0.16
0.02
-0.80
0.68
9
7.00
3.00
-1.07
-1.32
-2.80
-0.16
-1.98
-2.80
0.00
10
8.00
4.00
-2.07
-3.32
-4.80
-0.16
-3.98
-4.80
0.00
11
8.00
0.00
2.59
0.23
5.30
4.84
0.35
0.00
5.30
12
9.09
1.09
1.51
0.23
3.13
2.66
0.35
0.00
3.13
13
10.18
2.18
0.42
0.23
0.95
0.49
0.35
0.00
0.95
14
11.26
3.26
-0.67
0.23
-1.22
-1.69
0.35
-1.69
0.35
15
12.35
4.35
-1.76
0.23
-3.40
-3.86
0.35
-3.86
0.35
16
12.35
4.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
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Figura # 12-
Diagrama de Cortante para el estado de carga 1 DEAD
Figura # 13- Diagramas de cortante para estados de carga LIVE
NOTA: Personalmente prefiero que el diagrama “baje” con la carga hacia abajo pues es más claro,
requiere usar Vi con signo contrario al resultado del análisis matricial.
En cada punto se calculan los máximos y mínimos, y ese es el resultado que se busca entregue el
EXCEl que elaboramos aquí:
0.00
1.61
-2.39
1.93
-2.07
2.59
-1.76
0.00
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
ESTADO DE CARGA MUERTA
DEAD
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
2.0
4.0
6.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
ESTADOS DE CARGA VIVA
LIVE 1
LIVE 2
LIVE 3
LIVE 4
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Figura # 14- Envolvente para los casos de carga LIVE
NOTA: Si se ve cambios en las pendientes es debido a la partición, se podría aumentar el número de
puntos. El método exacto requiere calcular los puntos donde los diagramas son 0, donde son máximos,
y cortes entre una curva y otra.
2.4.2. DIAGRAMAS DE MOMENTO
Se realiza reemplazando los valores Mi+Vi·x-wx²/2 de igual forma que en el diagrama de cortante. El
diagrama de cortante muestra mucho más clara la importancia de la envolvente.
i
X(m)
x(m)
DEAD
LIVE 1
LIVE 2
LIVE 3
LIVE 4
MIN
MAX
0
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
2
1.00
1.00
1.11
2.06
-0.24
2.63
-0.40
-0.40
2.63
3
2.00
2.00
1.23
2.13
-0.48
3.26
-0.81
-0.81
3.26
4
3.00
3.00
0.34
0.19
-0.72
1.90
-1.21
-1.21
1.90
5
4.00
4.00
-1.54
-3.75
-0.96
-1.47
-1.62
-3.75
0.00
6
4.00
0.00
-1.54
-3.75
-0.96
-1.47
-1.62
-3.75
0.00
7
5.00
1.00
-0.11
-0.06
1.24
-1.63
1.40
-1.63
1.40
8
6.00
2.00
0.32
1.62
1.44
-1.79
2.43
-1.79
2.43
9
7.00
3.00
-0.25
1.30
-0.35
-1.95
1.45
-1.95
1.45
10
8.00
4.00
-1.82
-1.02
-4.15
-2.11
-1.53
-4.15
0.00
11
8.00
0.00
-1.82
-1.02
-4.15
-2.11
-1.53
-4.15
0.00
12
9.09
1.09
0.41
-0.76
0.44
1.96
-1.15
-1.15
1.96
13
10.18
2.18
1.46
-0.51
2.66
3.67
-0.76
-0.76
3.67
14
11.26
3.26
1.32
-0.25
2.51
3.02
-0.38
-0.38
3.02
15
12.35
4.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
16
12.35
4.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
-0.40
-0.94
-4.94
-0.16
-0.80
-4.80
0.00 0.00
-3.86
0.000.00
3.63
0.00 0.00
4.68
0.68
0.00
5.30
0.95
0.35
0.00
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
2.0
4.0
6.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
ENVOLVENTE DE CARGA VIVA
MIN
MAX
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Figura # 15-
Diagrama de momento para el estado de carga 1 DEAD
Figura # 1- Diagramas de Momento para estados de carga LIVE
0.000.00
1.23
-1.54-1.54
0.32
-1.82-1.82
1.46
0.000.00
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
ESTADO DE CARGA MUERTA
DEAD
-6.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
ESTADOS DE CARGA VIVA
LIVE 1
LIVE 2
LIVE 3
LIVE 4
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Figura # 2- Envolvente de Momento para los estado de carga LIVE
NOTA: En el tramo 2 el momento máximo de la envolvente es de 2.43ton·m, mientras que si se cargara
toda la estructura resultaría el doble del caso DEAD (debido a que wL=2w) 0.64 ton·m, tan sólo un
26% del valor máximo. En luces largas, como el caso de parqueaderos, restaurantes o aulas de clase,
el efecto es muy significativo.
ETABS
Figura # 3- Envolvente de Momentos para la viga determinado en ETABS
0.000.00
-1.21
-3.75-3.75
-1.63
-1.95
-4.15-4.15
-1.15
0.000.000.000.00
3.26
0.000.00
2.43
0.000.00
3.67
0.00
0.00
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
ENVOLVENTE DE CARGA VIVA
MIN
MAX
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2.4.3. DIAGRAMAS DE DEFORMADA
Si, sé que esto nunca lo has hecho, en la U sólo te hacían dibujar los de cortante y momento, pero no
tiene nada de raro sólo es reemplazar en la ecuación, con la compatibilidad de unidades respectiva.
(
)
=
+
· +
2
+
6
24
=
[
]
10
1
1
9806.65
·
[·
]
= 101.972
[]
·
[
]
La deformada es tradicionalmente representada en milímetros.
[]
=
(
)
1000
1
= 1000 ()
E=21538 MPa, bxh=0.30x0.35, I=bh³/12=0.0010719 m4, EI=101.972EI=2354.13 ton·m²
i
X(m)
x(m)
DEAD
LIVE 1
LIVE 2
LIVE 3
LIVE 4
MIN
MAX
0
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
2
1.00
1.00
-0.60
-1.02
0.26
-1.63
0.43
-1.63
0.43
3
2.00
2.00
-0.76
-1.24
0.41
-2.21
0.69
-2.21
0.69
4
3.00
3.00
-0.43
-0.63
0.36
-1.47
0.60
-1.47
0.60
5
4.00
4.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
6
4.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
7
5.00
1.00
0.05
-0.36
-0.56
1.11
-1.01
-1.01
1.11
8
6.00
2.00
0.01
-0.81
-0.66
1.52
-1.50
-1.50
1.52
9
7.00
3.00
0.08
-0.64
-0.22
1.18
-1.02
-1.02
1.18
10
8.00
4.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
11
8.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
12
9.09
1.09
-0.61
0.45
-1.00
-1.89
0.67
-1.89
0.67
13
10.18
2.18
-1.07
0.51
-1.88
-2.90
0.77
-2.90
0.77
14
11.26
3.26
-0.84
0.32
-1.52
-2.16
0.48
-2.16
0.48
15
12.35
4.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
16
12.35
4.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
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En ETABS se modifica la carga muerta para no tener en cuenta el peso propio.
Figura # 4- Comparación cálculo obtenido con el cálculo de ETABS caso de carga 1 DEAD
0.000.00
-0.76
0.05
0.08
0.00
-1.07
0.00
0.00
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
ESTADO DE CARGA MUERTA
DEAD
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ETABS LIVE 1 Y LIVE 2
ETABS LIVE 3 Y LIVE 4
Figura # 5-
Comparación cálculo obtenido con el cálculo de ETABS caso de carga 1 DEAD
-3.5
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
ESTADOS DE CARGA VIVA
LIVE 1
LIVE 2
LIVE 3
LIVE 4
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En el trabajo real el valor positivo de la deformada no se tiene en cuenta, pero la envolvente será:
Figura # 6- Envolvente de deformaciones para los estados de carga LIVE
2.5. MÉTODO EXACTO
Has podido notar que en algunos puntos del diagrama de momento existen diferencias con ETABs
esto ocurre porque el máximo no coincide con la partición escogida. Se puede solucionar creando una
partición muy fina, el problema es que produce una tabla exageradamente larga de valores.
En los ejemplos anteriores se pudo notar que con 5 puntos por tramo, se logra una buena
aproximación, para obtener los valores exactos y con el menor número de puntos se debe seguir el
siguiente procedimiento:
1. Obtener las NN ecuaciones tanto para cortante, como para momento y deformada, en general
es un polinomio f(x)=P(x) y son NN curvas.
2. Calcular los ceros del polinomio y de su derivada f(x
a
)=0 y f’(x
b
)=0, las coordenadas x
a
y x
b
que
cumplen las condiciones se deben guardar como límites de las ecuaciones.
3. Calcular los cortes entre una ecuación f(x) y otra de las NN curvas para los 3 casos cortante,
momento y deformada. Estas coordenadas serán x
c
.
4. Ordenar de menor a mayor las coordenadas x y entre cada tramo definido por esas
coordenadas, evaluar el punto medio x
m
y sus NN ordenadas fm=f(x
m
).
5. Ordenar las curvas, con sus respectivos coeficientes polinomiales, respecto a su fm para elegir
la fmin y fmax de cada tramo y guardar sus coeficientes así como los x que definen su dominio
de validez.
6. Crear una partición razonable como puede ser 1.0m o 2.0 si la viga es muy larga, y esas
coordenadas serán x
d
.
7. Las coordenadas xa, xb, xc y xd, se ordenan de menor a mayor, y finalmente se evalúan sus
fmax y fmin para cada x y se gráfica.
0.000.00
-2.21
0.00
0.00
-1.50
0.000.00
-2.90
0.000.000.000.00
0.69
0.000.00
1.52
0.00
0.00
0.77
0.00
0.00
-3.5
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
ENVOLVENTE DE CARGA VIVA
MIN
MAX
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Figura # 7- Gráfico que muestra el método para encontrar la curva fmáx y fmín.
Desde luego este método es para el Excel y no para humanos, la forma en que se encuentran los
ceros sea de f(x) o de f’(x) es usar el algoritmo de Newton-Raphson.
SOLUCIÓN ECUACIÓN LINEAL
(
)
= + = 0
=
SOLUCIÓN ECUACIÓN CUADRÁTICA
(
)
=
+ + = 0
=
4
=
2
=
+
2
SOLUCIÓN ECUACIÓN CÚBICA
+
+ + = 0
= 184
+
4
27
=
(
)
+
(
)
+
(
)
+
3
(
)
+ 2
(
)
+
Si D≥0, hay más raíces reales se usa la regla de Ruffini para obtener una ecuación cuadrática.
Si D<0, no hay más raíces reales se cierra el ciclo.
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-6.00
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
0 2 4 6 8 10 12 14
Cortante V(ton)
Envolvente de Cortante de Estados de Carga Viva
Vmin
Vmax
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
0 2 4 6 8 10 12 14
Momento M(ton·m)
Envolvente de Momento de Estados de Carga Viva
Mmin
Mmax
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Figura # 8- Resultados del método exacto obtenidos con el Excel del que se trata este documento
2.6. REACCIONES ENVOLVENTES
Se debe calcular para cada estado un valor de reacción en cada nudo, y simplemente hallar la mínima
y la máxima.
EJEMPLO-10: Calcule las reacciones máximas y mínimas de los estados de carga viva.
[UE]
0
1
2
3
4
1
0.001205
-0.00027
0.001849
-0.00046
2
-0.00014
0.000545
-0.00143
0.000916
3
-0.00063
0.000358
0.001613
-0.00094
4
0.000314
-0.00164
-0.00226
0.000471
A partir de la matriz [UE] rellenando con ceros se obtiene [UAE]
[UAE]
0
1
2
3
4
1
0
0
0
0
2
0.0012049
-0.000273
0.0018486
-0.000458
3
0
0
0
0
4
-0.000144
0.0005451
-0.001432
0.0009163
5
0
0
0
0
6
-0.000628
0.0003576
0.001613
-0.000942
7
0
0
0
0
8
0.0003139
-0.001636
-0.002263
0.0004708
-3.50
-3.00
-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
0 2 4 6 8 10 12 14
Deformada y(mm)
Envolvente de Deformada de Estados de Carga Viva
Mmin
Mmax
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[F]=[KAE][UAE]
0
1
2
3
4
1
0.936306
0.240619
0.368008
0.404459
2
2.666667
0
2.666667
0
3
-1.617834
0.556284
-0.208047
-0.426752
4
-2.22E-16
2.666667
-2.666667
2.666667
5
0.447251
-1.750948
-0.645449
-0.329124
6
-2.666667
0.487083
3.15375
-2.666667
7
0.234278
0.954044
0.485488
0.351417
8
0
-3.15375
-3.15375
0
[R]=[PAE]-[F]
0
1
2
3
4
1
3.0636943
-0.240619
3.6319922
-0.404459
2
0
0
0
0
3
9.6178344
3.4437157
4.2080469
4.4267516
4
2.22E-16
0
0
0
5
3.5527491
10.100948
4.9954494
4.3291237
6
0
0
0
0
7
-0.234278
3.395956
3.8645115
-0.351417
8
0
0
0
0
Se calcula el máximo y el mínimo de las reacciones.
NUDO
DEAD
MIN
MAX
1
1.6137668
-0.404459
3.6319922
2
4.3173992
3.4437157
9.6178344
3
4.6622865
3.5527491
10.100948
4
1.7565474
-0.351417
3.8645115
Se revisa en ETABS para corroborar los resultados de la envolvente.
Figura # 9- Reacciones para el caso DEAD y vista de la envolvente LIVE en ETABS
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3. DISEÑO DE LOSAS EN CONCRETO REFORZADO NSR-10
Es sencillo de realizar un chequeo de losas macizas, el análisis realizado por el Excel serviría incluso
para losas nervadas, y mixtas. También se podría extender para obtener las envolventes a un perfil
metálico bajo una losa mixta o maciza.
3.1. CARGAS DE DISEÑO
Desde luego siempre el ejercicio se hace con un diseño real, ya no estás en la U y no te sirve “hallar
la respuesta” sino hacer diseños para cobrarlos.
Figura # 10- Plano para el cálculo de la losa del diseño, franja X1
Institución Educativa uso oficinas L=200 kgf/m².
Se miden longitudes de muros, se obtiene Lx=26.30m, Ly=45.74m. Altura de muros H=2.80m espesor
t=0.15m. Peso mampostería confinada 1850 kgf/m³ y el área de la losa es de A=171.22m².
Longitud total de muros
L
72.04
m
Altura muros
H
2.80
m
Espesor muro
t
0.15
m
Peso unitario
γ
1850
kgf/m²
Volumen
V=LHt
30.257
m³
Peso Muros
PM=γV
55975
kgf
Área losa
A
171.22
m²
Carga Muerta muros
D=PM/A
327
kgf/m²
Piso con baldosa cerámica 80 +pañete en cielo raso 25 = 105 kgf/m²
Carga Muerta D=327+105, D=432 kgf/m².
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El espesor “mínimo” para no calcular deflexiones es NSR-10 C.9.5.2.1 L/24=2.84/24=0.118m.
Se decide usar una losa mínima, de 75mm para el símil a usar lámina colaborante. Concreto 3000PSI
(21MPa), E=4700·fc^0.5=21538MPa.
3.2. COMPROBACIÓN PARA CORTANTE
Usamos el excel para obtener la envolvente de cortante y momento flector.
¿Así ya tan fácil? ¿No será mejor hacer a mano? ¿Y si hago modelo en ETABS para comprobar?
Aquí no perdemos el tiempo, para eso está la herramienta.
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En la pestaña V(x) se encuentra el gráfico del cortante mayorado. El máximo es Vu=1.83ton.
El chequeo de cortante, NSR-10 C.11.2.1.1:
= 0.75 · 0.17
·
·
Usando barras #4 (12.7mm) y recubrimiento libre de cc=20mm, según C.7.7.1, se obtiene
d’=cc+db/2=26mm, d=h-d’=75-26=49mm.
= 0.75 · 0.17 ·
21 · 1000 · 49 = 28630
1
9806.65
= 2.92 1.83
3.3. COMPROBACIÓN PARA FLEXIÓN
En losa mixta la resistencia de diseño a momento positivo es demasiado grande, debido a la lámina y
al perfil bajo la misma (sección compuesta). Debido a esto sólo se chequea flexión negativa.
El diagrama de momento se encuentra en la hoja M(x). El mínimo es Mu=-0.94ton·m.
Hacemos uso de la más famosa función de magnusdcweb.com, llamada AsReq la cual nos devuelve
el valor del refuerzo necesario para cumplir flexión.
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,
(
100, 4.9, 21, 420, 0.94 ·
)
= 5.81
= 581
Se refuerza con 1#4c20cm. La barra #4 tiene 127mm² de área.
= 127
100
20
= 635
=
0.85
·
=
635
420
0.85 · 21 · 1000
= 14.9
=
= 635
· 420 = 266700 = 27.20
= 0.90
2
= 0.90 · 27.20
49
14.9
2
1
1000
= 1.02 ·
= 0.94 ·
Lo anterior finaliza el diseño convencional de losas macizas, como no se hizo caso a lo expresado en
C.9.5.2.1 de usar mínimo h=12cm, se debe chequear deflexiones.
3.4. PROCEDIMIENTO DE CHEQUEO DE DEFLEXIONES
El análisis matricial cobra vital importancia aquí, ya que nos entrega la deformada que requerimos.
C.9.5.2.2 “… deben calcularse mediante los métodos o fórmulas usuales para deflexiones elásticas,
tomando en consideración los efectos de la fisuración y del refuerzo en la rigidez del elemento.”
C.9.5.2.3 “… las deflexiones inmediatas deben calcularse usando el módulo de elasticidad del
concreto, Ec, que se especifica en C.8.5.1 y el momento de inercia efectivo, Ie, sin tomarlo mayor que
Ig.”
=
=
+
Es necesario entonces calcular la inercia efectiva y las deflexiones deberán ser evaluadas con I=Ie en
lugar de Ig.
=
·
=
·
= .
Lo anterior no es otra cosa que el método de esfuerzos admisibles, en la condición fisurada.
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Figura # 11- Variables para el cálculo del momento de fisuración
Haciendo equilibrio del primer momento de área alrededor del eje marcado:
· ·
2
=
·
(
)
2
=
(
1
)
=
2
·
(
1
)
= 2
(
1
)
= 2
(
1
)
= 22
+
(
2
)
2= 0
=
2+
(
2
)
4(2)
2
=
2+
4
(
)
+ 8()
2
=
2+ 2
(
)
+ 2()
2
=
(
)
+
=
La cuantía del refuerzo entra en la ecuación, en una losa maciza sería repetir el proceso para Mu
negativo, pero para una losa mixta es el área de la lámina Steel deck.
C.8.5.3 “El módulo de elasticidad, Es, para el acero de refuerzo… puede tomarse como 200 000MPa”.
=
, 0
6
Una vez conocido el eje neutro, se calcula el momento de inercia de la sección fisurada transformada,
Icr.
=
·
(
)
+
·
(
)
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La inercia bruta, es fácil, para una sección rectangular.
=
,
=
=
=
12
·
2
=
El momento de servicio, Ma, se encuentra en la hoja M(x) pues corresponde a la envolvente de
servicio.
C.9.5.2.5 “… la deflexión adicional a largo plazo, resultante del flujo plástico y retracción de elementos
en flexión, debe determinarse multiplicando la deflexión inmediata causada por la carga permanente
por el factor:”
=
+
La cuantía de la ecuación se calcula en el centro de luz.
= . ñ á
Sólo queda saber la deflexión inmediata y a largo plazo deben ser menores ¿a qué límites?, según
Tabla C.9.5 (b) se tiene:
TIPO DE ELEMENTO DEFLEXIÓN CONSIDERADA
LÍMITE DE LA
DEFLEXIÓN
Entrepiso que no estén ligados a
elementos no estructurales frágiles.
Deflexión inmediata debida a la carga
viva, L
yL,adm=L/360
Sistema de entrepiso que no esté
ligado a elementos no estructurales
frágiles.
La suma de la deflexión a largo plazo
y la deflexión inmediata debida a
carga viva.
yLP,adm=L/240
En el caso del Steel deck se tiene un sistema de entrepiso, mientras que una losa maciza sería un
entrepiso simple.
3.5. COMPROBACIÓN DE LA DEFLEXION
Hoy en día el steel deck está cobrando mucha fuerza, y casi todo, se está realizando con dicho sistema
de entrepiso es por tanto lógico realizar el chequeo para ese sistema. Es necesario conocer las
medidas, espesor y resistencia a la fluencia de la lámina, en este caso uso una típica llamada
“Corpalosa” de 2”.
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Figura # 12- Dimensiones de un lámina Steel Deck típica
Es difícil hallar las propiedades mecánicas, como el centroide, por lo que es necesario calcularlas.
CENTROIDE
2
(
+
)
·
=
·
·
2
+ 2
2
·
2
·
2
3
2
(
+
)
·
=
2
+
·
3
·
3
=
2
+
3
3
2
(
+
)
·
=
6
(
3
+ 2
2
)
=
6
·
(
2
+
)
=
·
(
+
)
(
+
)
ÁREA DE REFUERZO
Es necesario conocer el espesor de la lámina, en el caso, del calibre 22 es t=0.75mm.
En un ancho de franja igual a b1:
= ·
+ 2
2
+
=
+ 2
(
)
4
+
=
+ 2
(
)
+ 4
4
=
+
(
)
+ 4
En un ancho de 1.0m, si las unidades las asignamos en mm:
=
+
(
)
+
PESO
Este cálculo es para comprobar el área, pues el peso/m² si aparece en las tablas.
= · 1.0·
= 7850
1.0
1
1000
= . ·
[
]
EJEMPLO-11: Calcule la deflexión instantánea y a largo plazo de la losa, determine si cumple el criterio
de deflexiones con la sección de Corpalosa 2” cal. 22 con 10cm de espesor total.
1. Área de refuerzo
A
=
1000t
b
b
+
(
b
b
)
+ 4h
=
1000 · 0.75
187
129 +
(
187 129
)
+ 4 · 51
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= 988
2. Peso lámina
PP = 0.00785 · A
[
]
= 0.00785 · 988 = 7.8
El fabricante indica que su lámina pesa 7.4 kgf/m², es correcto.
3. Distancia al centroide
d
=
h
3
·
(
2b
+ b
)
(
b
+ b
)
=
51
3
·
(
2 · 187 + 129
)
(
187 + 129
)
= 27.1 mm
4. Peralte efectivo
d = h d
= 100 27.1 = 72.9 mm
5. Cuantía
=
A
bd
=
988
1000 · 72.9
= 0.01355
6. Relación modular
n =
E
E
=
200 000
21538
= 9.3 9
7. Factor de peralte sin fisurar
= 9 · 0.01355 = 0.122
k =
(
n
)
+ 2nn=
0.122
+ 2 · 0.122 0.122 = 0.387
8. Peralte sin fisurar
kd = 0.387 · 72.9 = 28.2 mm
9. Inercia de la sección fisurada transformada
I
=
b
3
·
(
kd
)
+ nA
·
(
d kd
)
=
1000
3
· 28.2
+ 9 · 988 ·
(
72.9 28.2
)
=
I
= 25 242 272 mm
10. Inercia bruta de la sección
Debe ser la misma con la que se realizó el análisis estructural
I
=
bh
12
=
1000
12
·
(
75
)
= 35 156 250 mm
11. Módulo elástico
S
=
bh
6
=
1000
6
· 75
= 937 500 mm
12. Módulo de rotura
f
= 0.62
f
= 0.62
21 = 2.84 MPa
13. Momento de fisuración
M
= f
· S
= 2.84 · 937 500 = 2 662 500 N · mm = 0.27 ton · m
14. Momento de servicio
Corresponde al momento positivo máximo de las combinaciones de servicio, están tabulados en la
hoja M(x).
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Figura # 13- Momento de servicio
M
= 0.54 ton · m
15. Inercia efectiva
=
0.27
0.54
= 0.125
I
=
M
M
I
+
1
M
M
I
= 0.125 · 35 156 250 +
(
1 0.125
)
· 25 242 272
I
= 26 481 519 mm
La inercia efectiva es la que para la norma es adecuada para el cálculo estructural, y la deformada se
ha calculado con Ig para una sección equivalente 100x7.5, por tanto se debe corregir las
deformaciones con un factor de corrección.
16. Factor de fisuración
FF =
I
I
=
26 481 519
35 156 250
= 0.75
17. Deflexión inmediata
Corresponde a la máxima de las combinaciones de servicio, se encuentra tabulada en la hoja y(x):
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Figura # 14-
Deformada de combinaciones de Servicio obtenida en el Excel
,
= 4.99
NOTA: El valor ya considera tanto carga muerta (permanente) como carga viva.
18. Deflexión inmediata corregida
y
=
y
,
FF
=
4.99
0.75
= 6.65 mm
19. Deflexión a largo plazo
=
1 + 50
=
2.0
1 + 50 · 0.01355
= 1.19
y
=
· y
= 1.19 · 6.65 = 7.92 mm
20. Deflexión admisible
La deflexión máxima ocurre en el tramo 1, cuya luz es L=2.84m
y
,
=
L
240
=
2840
240
= 11.83 mm
y
y
,
=
7.92
11.83
= 0.67 < 1.0 OK Cumple
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4. VIGUETAS
Si se desea extender el diseño a viguetas, sea de concreto o de acero, se requiere de las reacciones
estado carga muerta y viva. Considerando que la carga viva cuenta con varios estados se requiere la
máxima desde luego.
En la misma hoja Datos se imprimen los valores de las reacciones máximas:
Figura # 16-
Resultados para la losa diseñada
En el plano se determina qué reacción corresponde a las viguetas:
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Figura # 17-
Planta con franja X1, y viguetas
En la parte superior se puede observar el modelo asumido, los nudos 2 y 4 corresponden a un tipo de
vigueta mientras que el 6 a un segundo tipo.
Nudo 2, Dead R2=1.973 ton, Live Max R2=0.692 ton
Nudo 4, Dead R4=1.764 ton, Live Max R4=0.675 ton
La vigueta tipo 1 por tanto se diseñará con wD=1.973 ton/m y wL=0.675 ton/m siendo las mayores de
los nudos 2 y 4. Una primera aproximación se logra con peso unitario 0 y una sección mínima 10x15.
El esquema de estados de carga ayuda a visualizar cómo se cargaría la vigueta para el diseño,
imponiendo la regla que Excel resalte el valor mayor a 0.5 con un relleno verde, se puede ver los
tramos cargados en cada estado, siendo muy útil si se pretende modelar aparte.
MATRIZ TRANSPUESTA DE ESTADOS DE CARGA
NUDO
1
2
3
4
CASO/TRAMO
1->2
2->3
3->4
DEAD
1
1
1
LIVE 1
1
1
0
LIVE 2
0
1
1
LIVE 3
1
0
1
LIVE 4
0
1
0
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Figura # 18-
Modelo de vigueta
Una vez realizado lo anterior, se obtienen las fuerzas mayoradas para su diseño particular, sea en
concreto o acero.
Figura # 19-
Cortantes mayorados en vigueta
-2.41
-10.28
-6.64
0.00
6.80
10.42
0.000.00
-15.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
0 2 4 6 8 10 12
Cortante V(ton)
Envolvente de Cortante de Combinaciones
Mayoradas
Vamin
Vamax
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Figura # 20- Momentos mayorados en vigueta
PERFIL METÁLICO
Usando mi hoja de sección en I sometida a flexión se obtiene IPE 240 ASTM A572 grado 50ksi,
conectores de cortante de 3/4" cada 30cm.
VIGUETA EN CONCRETO
Usando mi hoja de vigas doblemente reforzadas, cuyo principio puedes ver aquí o en el numeral 4 de
https://magnusdcweb.com/Funciones.html, resulta 25x35 concreto 3000PSI superior 2#7+1#6; inferior
3#5 estribos #3 cada 20cm, en extremos 6, 1 cada 15cm.
5. LIBRO DE EXCEL
Puedes notar que la programación es muy extensa y por tanto no será gratis, es muy útil ya que un
diseño lo sacas en menos de 5min.
Lo encuentras disponible aquí o envía un correo a magnusdcp@gmail.com, igualmente si te interesa
alguno de las hojas para vigas en acero o concreto.
-0.84
-9.97
0.000.00
5.98
6.39
0.000.00
-12.00
-10.00
-8.00
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
0 2 4 6 8 10 12
Momento M(ton·m)
Envolvente de Momento Combinaciones Mayoradas
Mumin
Mumax
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6. ANEXO
6.1. COMPARACIÓN ESTADO DE CARGA MUERTA CON EL MÉTODO DE
DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS
Anteriormente mencioné que los valores [FI] son similares a la suma obtenida con el método de H.
Cross, por mera curiosidad, resolvamos para comparar.
Haré una pequeña modificación al método incluyendo una fila con la suma para comprobar.
[FL] (1)
[FI] (1)
0
1
0
1
1
0.39
1
-1.61
2
1.33
2
0.00
3
-0.39
3
-2.39
4
0.21
4
1.54
[FL] (2)
[FI] (2)
0
1
0
1
1
0.07
1
-1.93
2
-0.21
2
-1.54
3
-0.07
3
-2.07
4
0.49
4
1.82
[FL] (3)
[FI] (3)
0
1
0
1
1
-0.42
1
-2.59
2
-0.24
2
-1.82
3
0.42
3
-1.76
4
-1.58
4
0.00
Se realiza el método de H. Cross redondeado a 2 cifras, y expresando la suma de Distribución y
Reparto como un valor dM.
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DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS
DE->A
1->2
2->1
2->3
3->2
3->4
4->3
LONGITUD (m)
4.00
4.00
4.00
4.00
4.35
4.35
Ki=1/Li
0.25
0.25
0.25
0.25
0.23
0.23
FD=-Ki/ΣKi
-1.00
-0.50
-0.50
-0.52
-0.48
-1.00
w (ton/m)
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
Me=wL²/12
-1.33
1.33
-1.33
1.33
-1.58
1.58
D1=FDΣM
1.33
0.00
0.00
0.13
0.12
-1.58
R1=D1/2
0.00
0.67
0.06
0.00
-0.79
0.06
D2
0.00
-0.37
-0.37
0.41
0.38
-0.06
R2
-0.18
0.00
0.21
-0.18
-0.03
0.19
D3
0.18
-0.10
-0.10
0.11
0.10
-0.19
R3
-0.05
0.09
0.06
-0.05
-0.09
0.05
D4
0.05
-0.07
-0.07
0.08
0.07
-0.05
R4
-0.04
0.03
0.04
-0.04
-0.03
0.03
D5
0.04
-0.03
-0.03
0.03
0.03
-0.03
R5
-0.02
0.02
0.02
-0.02
-0.02
0.01
D6
0.02
-0.02
-0.02
0.02
0.02
-0.01
R6
-0.01
0.01
0.01
-0.01
-0.01
0.01
D7
0.01
-0.01
-0.01
0.01
0.01
-0.01
R7
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
dM=ΣD+R
1.33
0.22
-0.21
0.48
-0.25
-1.57
M=dM+Me
0.00
1.55
-1.54
1.82
-1.82
0.00
CORTANTES Y REACCIONES
Ve=wL/2
2.00
2.00
2.00
2.00
2.18
2.18
dVi=-Σ(Mi+Mj)/L
-0.39
-0.07
0.42
dVj=+Σ(Mi+Mj)/L
0.39
0.07
-0.42
V=dV+Ve
1.61
2.39
1.93
2.07
2.59
1.76
R=Vi+Vj
1.61
4.32
4.66
1.76
Separando los valores para ver claramente las similitudes entre dM, dV y [FL]:
CORTANTES
MOMENTOS
[FL] (1)
[FI] (1)
0
1
0
1
1
0.39
1
-1.61
3
-0.39
3
-2.39
[FL] (2)
[FI] (2)
0
1
0
1
1
0.07
1
-1.93
3
-0.07
3
-2.07
[FL] (3)
[FI] (3)
0
1
0
1
1
-0.42
1
-2.59
3
0.42
3
-1.76
[FL] (1)
[FI] (1)
0
1
0
1
2
1.33
2
0.00
4
0.21
4
1.54
[FL] (2)
[FI] (2)
0
1
0
1
2
-0.21
2
-1.54
4
0.49
4
1.82
[FL] (3)
[FI] (3)
0
1
0
1
2
-0.24
2
-1.82
4
-1.58
4
0.00
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Se puede notar que los momentos D+R encontrados por el método de H. Cross son muy similares (o
iguales) a los valores FL del método exacto.
6.2. DEMOSTRACIÓN DE LAS FUERZAS DEL ESTADO DE EMPOTRAMIENTO
Se usa la ecuación de Euler-Bernoulli relaciona el momento con la carga aplicada:
=
Personalmente me gusta hacer el proceso al contrario, por tanto, integrado en vez de derivar y con el
cortante siempre bajando para cargas en dirección de la gravedad:
(
)
=
(
)
=
·
(
)
=
+
(
)
=
+
· ·
2
(
)
=
(
)
=
· +
·
2
·
6
(
)
=
(
)
=
·
2
+
·
6
·
24
Se evalúa en el extremo derecho.
(
)
=
· +
·
2
·
6
= 0
(
)
=
·
2
+
·
6
·
24
= 0
2
6
2
=
·
6
·
24
La solución para un sistema matricial 2x2 es:
[
](
)
=
[
]
[
]
=
[
]
[]
[
]
=
1
det
(
)
det
(
)
=
4
6
=
12
[
]
=
12
2
6
2
Resolviendo para cortante y momento a la izquierda:
=
12
2
6
2
·
·
6
·
24
=
12
12
24
=
12
24
=
2
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=
12
36
+
48
=
12
144
=
12
Evaluando para cortante y momento en el extremo derecho:
=
(
)
=
· =
2
=
2
=
(
)
=
+
· ·
2
=
12
+
2
2
=
12
En forma matricial se tendrá:
[
p
]
=
V
M
V
M
=
wL
2
wL
12
wL
2
wL
12
